Question

10．若$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．已知点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的任意两点，当|y₁-y₂|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$，且函数f（x）为偶函数．
（Ⅰ）求f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，函数y=g（x）的图象与y=1在y轴右侧的交点依次记为A₁、A₂、A₃…、A_n（n∈N^*），求向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、辅助角公式化简f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的解析式，再根据正弦函数的周期性求得ω的值，可得f（x）=2cos2x，从而求得f（$\frac{5π}{12}$）的值．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再令g（x）=1，求得x的值，可得A₁、A₂、A₃…、A_n（n∈N^*）的坐标，从而求得向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐标．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由函数f（x）为偶函数，可得φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，结合0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx，
再根据当|y₁-y₂|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$，可得函数的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2cos2x，故f（$\frac{5π}{12}$）=2cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后，
得到函数y=g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）的图象．
令2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=1，求得cos（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，得2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{3}$ 或2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈z．
即x=kπ+$\frac{π}{4}$，或 x=kπ+$\frac{11π}{12}$，由此可得A₁、（$\frac{π}{4}$，1），A₆、（$\frac{35π}{12}$，1 ），
故向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐标为（$\frac{8π}{3}$，0）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，辅助角公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的奇偶性，属于中档题题．