Question

2．已知A，B是抛物线y²=2x上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 由于AB所在直线过定点P（2，0），所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．将直线的方程代入抛物线的方程消去x并整理得y²-2my-4=0．利用根与系数的关系及弦长公式即可求出S_△AOB的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出△AOB的面积取得最小值为4．

解答 解：由于AB所在直线过定点P（2，0），
所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x并整理得y²-2my-4=0．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
于是|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+16}=2\sqrt{{m}^{2}+4}$
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×|OP|×（|y₁|+|y₂|）
=$\frac{1}{2}$|OP|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{{m}^{2}+4}$=2$\sqrt{{m}^{2}+4}$．
∴当m=0时，此时A，B两点坐标为（2，2）和（2，-2）．△AOB的面积取得最小值为4．

点评 本题考查直线过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．