Question

14．已知函数f（x）=x|lnx-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的a≥2，方程f（x）=x+b恒有三个不等根，试求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，$f（x）=x|lnx-1|=\left\{\begin{array}{l}x-xlnx，0＜x＜e\\ xlnx-x，x≥e\end{array}\right.$．利用导数法，可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用导数法，可得f（x）在（0，e^a-2）上递增，在（e^a-2，e^a）上递减，在（e^a，+∞）上递增，若方程f（x）=x+b有三个不等根，则必须在（0，e^a）上有两个不等根，在（e^a，+∞）上有一个根．分类讨论后，可得实数b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=x|lnx-1|=\left\{\begin{array}{l}x-xlnx，0＜x＜e\\ xlnx-x，x≥e\end{array}\right.$．
当0＜x＜e时，f'（x）=-lnx，可得f（x）在（0，1）上递增，在（1，e）上递减；
当x≥e时，f'（x）=lnx，可得f（x）在（e，+∞）上递增．
（Ⅱ）$f（x）=x|lnx-a|=\left\{\begin{array}{l}ax-xlnx，0＜x＜{e}^{a}\\ xlnx-ax，x≥{e}^{a}\end{array}\right.$，
当0＜x＜e^a时，f'（x）=a-1-lnx，
当x≥e^a时，f'（x）=lnx+1-a，
∴f（x）在（0，e^a-2）上递增，在（e^a-2，e^a）上递减，在（e^a，+∞）上递增．
若方程f（x）=x+b有三个不等根，则必须在（0，e^a）上有两个不等根，在（e^a，+∞）上有一个根．
①当0＜x＜e^a时，令g（x）=f（x）-（x+b），则g'（x）=-lnx+a-2；令g'（x）=0，得x=e^a-2．
所以当0＜x＜e^a-2时，g（x）是增函数，当e^a-2＜x＜e^a时，g（x）是减函数，所以若g（x）在（0，e^a）上有两个不等根，此时应满足$\left\{\begin{array}{l}g（{e^{a-2}}）={e^{a-2}}-b＞0\\ g（{e^a}）=-{e^a}-b＜0\end{array}\right.$，得-e^a＜k＜e^a-2．
又因为当x→0时，可得k＞0，所以0＜b＜e^a-2．
②当x＞e^a时，令h（x）=f（x）-（x+k），则h'（x）=lnx-a；令h'（x）=0，得x=e^a．
所以当x＞e^a时，h（x）是增函数．所以若h（x）在（e^a，+∞）上有一个根，则应满足g（e^a）=-e^a-k＜0，解得b＞-e^a．
由①、②可得，0＜b＜e^a-2．
又对于任意的a≥2，方程f（x）=x+b恒有三个不等根，则0＜b＜（e^a-2）_min=1．
综上所述，0＜b＜1．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及根的个数判断，导数法确定函数的单调性，是分段函数与导数的综合应用，难度中档．