Question

4．定义：从一个数列{a_n}中抽取若干项（不少于三项）按其在{a_n}中的次序排列的一列数叫做{a_n}的子数列，成等差（比）的子数列叫做{a_n}的等差（比）子列．
（1）求数列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$的等比子列；
（2）设数列{a_n}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1．
（i）试给出一个{a_n}，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；
（ii）若{a_n}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1≤k≤3，k∈N^*），讨论k=1，k=2，k=3，由新定义，即可得到；
（2）（i）形如：a₁，-a₁，a₁，-a₁，a₁，-a₁，…（a₁≠0，q=-1）均存在无穷项，等差子数列：a₁，a₁，a₁，…或-a₁，-a₁，-a₁，
（ii）设{${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*，n_k∈N^*）为{a_n}的等差子数列，公差为d，当|q|＞1时，当|q|＜1时，运用等比数列的通项和性质，判断推理，即可得到q=-1．

解答 解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1≤k≤3，k∈N^*），
当k=2时，①设$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{m}$成等比数列，则$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{1}{m}$，即m=n+$\frac{1}{n}$+2，
当且仅当n=1时，m∈N^*，此时m=4，所求等比子数列为1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；
②设$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+1}$成等比数列，则$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n+1}$•$\frac{1}{m}$，即m=n+1+$\frac{1}{n+1}$-2∉N^*；
当k=3时，数列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$均不成等比，
当k=1时，显然数列1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$不成等比；
综上，所求等比子数列为1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（2）（i）形如：a₁，-a₁，a₁，-a₁，a₁，-a₁，…（a₁≠0，q=-1）均存在无穷项，
等差子数列：a₁，a₁，a₁，…或-a₁，-a₁，-a₁，
（ii）设{${a}_{{n}_{k}}$}（k∈N^*，n_k∈N^*）为{a_n}的等差子数列，公差为d，
当|q|＞1时，|q|ⁿ＞1，取n_k＞1+log_|q|$\frac{|d|}{|{a}_{1}|•（|q|-1）}$，
从而$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＞$\frac{|d|}{|{a}_{1}|•（|q|-1）}$，
故|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|a₁${q}^{{n}_{k+1}-1}$-a₁${q}^{{n}_{k}-1}$|=|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$-1|
≥|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•（|q|-1）＞|d|，
这与|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|d|矛盾，故舍去；
当|q|＜1时，|q|ⁿ＜1，取n_k＞1++log_|q|$\frac{|d|}{2|{a}_{1}|}$，
从而$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＜_|$\frac{|d|}{2|{a}_{1}|}$，
故|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|a₁${q}^{{n}_{k+1}-1}$-a₁${q}^{{n}_{k}-1}$|=|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$-1|≤|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$•|${q}^{{n}_{k+1}-{n}_{k}}$|+1
＜2|a₁|•$|q{|}^{{n}_{k}-1}$＜|d|，
这与|${a}_{{n}_{k+1}}$-${a}_{{n}_{k}}$|=|d|矛盾，故舍去；
又q≠1，故只可能q=-1，
结合（i）知，q的所有可能值为-1．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于中档题和易错题．