Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}$且sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把等式中角的正弦转化为边，整理，利用余弦定理可求得cosC的值，进而求得C．
（2）根据已知等式确定a和b的关系，进而利用c的值和余弦定理可求得b，则a可得最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答 解：（1）$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$，由正弦定理得$\frac{c-a}{b-a}$=$\frac{b}{a+c}$，整理得
ab=a²+b²-c²，
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵sinA=2sinB，
∴a=2b，
∵c²=a²+b²-2abcosC，
即12=4b²+b²-2b²=3b²，
∴b=2，a=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．运用正弦定理和余弦定理能把三角形中边和角的问题有机的联系在一起，找到解决问题的突破口．