Question

3．若0≤x≤$\frac{π}{2}$，则函数y=cos（x-$\frac{π}{2}$）sin（x+$\frac{π}{6}$）的最大值是$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值．

解答 解：y=sinx（sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$cosx）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{1}{2}$sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}（1-cos2x）}{4}$+$\frac{1}{4}$sin2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴y_max=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图形与性质．解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用．