Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1-3S_n-2n-4=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=a_nx+a_n-1x²+a_n-2x³+…+a₁xⁿ，f′（x）是函数f（x）的导函数，令b_n=f′（1），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，通过S_n+1-3S_n-2n-4=0，S_n-3S_n-1-2n-2=0相减，得a_n+1=3a_n+2，结合a₁=1，可得a₂=8，进而可得结论；
（2）通过求导可知b_n=a_n+2a_n-1+…+na₁=[3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²]-$\frac{n（n-3）}{2}$，利用错位相减法计算出3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²，进而可得结论．

解答 解：（1）当n≥2时，由S_n+1-3S_n-2n-4=0，得S_n-3S_n-1-2n-2=0，
两式相减，得a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）成立，
又已知a₁=1，a₂=8，而a₂+1≠3（a₁+1），
∴数列{a_n+1}从第二项起是以9为首项，3为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{{3}^{n}-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$（n∈N^*）；
（2）∵函数f（x）=a_nx+a_n-1x²+a_n-2x³+…+a₁xⁿ，
∴b_n=f′（1）=a_n+2a_n-1+…+na₁
=（3ⁿ-1）+2（3^n-1-1）+3（3^n-2-1）+…+（n-1）（3²-1）+n
=[3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²]-[1+2+3+…+（n-1）]+n
=[3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²]-[1+2+3+…+（n-1）+n]+2n
=[3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²]-$\frac{n（n-3）}{2}$
令S=3ⁿ+2•3^n-1+3•3^n-2+…+（n-1）•3²，
则3S=3ⁿ⁺¹+2•3ⁿ+3•3^n-1+4•3^n-2+…+（n-1）•3³，
两式相减得：2S=3ⁿ⁺¹+3ⁿ+3^n-1+3^n-2+…+3³-（n-1）•3²
=$\frac{{3}^{3}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n-1）•3²
=$\frac{9}{2}$•3ⁿ-9n-$\frac{9}{2}$，
∴S=$\frac{9}{4}$•3ⁿ-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$n，
于是b_n=$\frac{9}{4}$•3ⁿ-$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{2}$n-$\frac{n（n-3）}{2}$=$\frac{9}{4}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$•n²-3n-$\frac{9}{4}$，
∴数列{b_n}的通项b_n=$\frac{9}{4}$•3ⁿ-$\frac{1}{2}$•n²-3n-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．