Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a₃=7且a_n+3=a_n+2+a_n+1-a_n，则a₂₀₁₅=6043．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a₃=7且a_n+3=a_n+2+a_n+1-a_n，可得a₄=9，a₅=13，a₆=15，a₇=19，a₈=21，…，
可得：a₁=1，a_2n=a_2n-1+2，a_2n+1=a_2n+4，因此a_2n+1-a_2n-1=6，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a₃=7且a_n+3=a_n+2+a_n+1-a_n，
∴a₄=9，
同理可得a₅=13，a₆=15，a₇=19，a₈=21，…，
可得：a₁=1，a_2n=a_2n-1+2，a_2n+1=a_2n+4，∴a_2n+1-a_2n-1=6，
∴数列{a_2n-1}是等差数列，首项为1，公差为6．
∴a_2n-1=1+6（n-1）=6n-5，
∴a₂₀₁₅=a_2×1008-1=6×1008-5=6043．
故答案为：6043．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．