Question

16．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$$+\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，n∈N^*．
（Ⅰ）试比较a_n与a_n+1的大小，并说明理由；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$$-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$$＜\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$$+\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，n∈N^*，可得$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$＞0，即可得出．
（II）利用$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$$•\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}$，可证明：$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
再证明：左边．由于$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}）+（\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{3}}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}）$，可得$\sqrt{{a}_{n+1}}$＜n+1．而$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\sqrt{{a}_{n}}[1+\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{（n+1）^{2}}]$，可得$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=1+$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{（n+1）^{2}}$，$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+1+\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n+1}）}$，可得当n≥2时，$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n+1}＜\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n}$＜1．即可证明．

解答 （I）解：∵$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$$+\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，n∈N^*，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$＞0，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$＞$\sqrt{{a}_{n}}$，化为a_n+1＞a_n．
（II）证明：先证明：$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$$•\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}$＜$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
再证明：$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$＜$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$．
∵$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$（\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}）+（\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{3}}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}）$$＜\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$＜n+1．
而$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\sqrt{{a}_{n}}[1+\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{（n+1）^{2}}]$，∴$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=1+$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{（n+1）^{2}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}•\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}[1+\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{（n+1）^{2}}]}$=$\frac{1}{（n+1）（n+1+\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n+1}）}$，
当n≥2时，$\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n+1}＜\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{n}$＜1．
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$＞$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
综上可得：$\frac{1}{n+1}$$-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$$-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}$$＜\frac{1}{（n+1）^{2}}$．

点评 本题考查了数列的递推式及其通项公式的应用、“放缩法”、不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．