Question

1．已知a＞0，函数f（x）=ln（$\frac{x}{a}$-1）+$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{2}$．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ） 当函数f（x）存在极值时，设所有极值之和为g（a），求g（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数f（x）进行求导，得到关于x的一元二次方程，对△进行讨论得到单调区间．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，当函数f（x）存在极值时，$0＜a＜\frac{1}{4}$，且f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，继而求得参数范围．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（a，+∞），${f^/}（x）=\frac{{\frac{1}{a}}}{{\frac{x}{a}-1}}-\frac{1}{x^2}=\frac{{{x^2}-x+a}}{{{x^2}（x-a）}}$． …（2分）
方程x²-x+a=0的判别式△=1-4a．
（1）若△≤0，即$a≥\frac{1}{4}$时，在f（x）的定义域（a，+∞）内，有f′（x）≥0，∴f（x）在定义域（a，+∞）上为增函数；                …（3分）
（2）若△＞0，即$0＜a＜\frac{1}{4}$时，方程x²-x+a=0有两个不同的实数根为：${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}$，且a＜x₁＜x₂．
∴f（x）在$（a，\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}）$和$（\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}，+∞）$上为增函数；  …（5分）
在$（\frac{{1-\sqrt{1-4a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-4a}}}{2}）$上为减函数．         …（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，当函数f（x）存在极值时，$0＜a＜\frac{1}{4}$，
且f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值．                        …（8分）
∵x₁+x₂=1，x₁x₂=a，∴f（x）的所有极值之和为：g（a）=f（x₁）+f（x₂）
=$ln（\frac{x_1}{a}-1）+\frac{1}{x_1}+\frac{a}{2}+ln（\frac{x_2}{a}-1）+\frac{1}{x_2}+\frac{a}{2}$=$ln（\frac{{{x_1}{x_2}}}{a^2}-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{a}+1）+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}+a$
=$ln（\frac{a}{a^2}-\frac{1}{a}+1）+\frac{1}{a}+a$=$\frac{1}{a}+a$…（10分）
当$0＜a＜\frac{1}{4}$时，$g（a）=\frac{1}{a}+a$为减函数，
∴g（a）的取值范围是$（\frac{17}{4}，+∞）$．…（12分）

点评 本题主要考查了导数在函数综合题中的应用，注意对参数的讨论得到不同的单调区间，属于难度较大的题型．