Question

9．若函数f（x）=-log_a（x³+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据对数函数的性质得到题中函数在[0，1]上是单调函数，结合f（0）=-log_a1=0可得f（x）是增函数且f（1）=1．由此建立关于a的方程，解之即可得出实数a的值．

解答 解：根据对数函数的性质，可得函数f（x）=-log_a（x³+1）在[0，1]上是单调函数，
∵函数f（x）=-log_a（x³+1）满足f（0）=-log_a1=0，
∴由函数的定义域和值域都是[0，1]，
得函数f（x）是增函数且f（1）=1．
即-log_a（1+1）=1，a=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要通过函数间的转化，来考查对数函数的定义域，值域及其单调性，还考查了转化和分类讨论思想．