Question

14．如图，F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为P，与另一条渐近线相交于Q，若|PF|=|PQ|，则C的离心率为2．

Answer 1

分析 通过联立渐近线y=$\frac{b}{a}$x与直线PF的方程，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），利用中点坐标公式可得Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），将点Q代入渐近线y=-$\frac{b}{a}$x，计算即得结论．

解答 解：设F（c，0），相应的渐近线：y=$\frac{b}{a}$x，
则直线PF的斜率为-$\frac{a}{b}$，其方程为：y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
设P（t，$\frac{b}{a}$t），代入直线PF的方程，
得：$\frac{b}{a}$t=-$\frac{a}{b}$（t-c），解得：t=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵|PF|=|PQ|，即点P为线段FQ的中点，
∴Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），
∵点Q在渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，
∴2$\frac{ab}{c}$=-$\frac{b}{a}$（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），
化简得：$\frac{c}{a}$=2，即离心率为2，
故答案为：2．

点评 本题主要考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．