Question

9．已知函数f（x）=mlnx-x²+（2m-1）x，（m∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设m＞0，证明：当0＜x＜m时，f（m+x）＞f（m-x）；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为x0，f′（x）为函数f（x）的导函数，证明f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当b=2时，求导函数，根据函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解，又因为x＞0时，则ax²+2x-1＞0有x＞0的解，分类讨论，即可求得a的取值范围；
（Ⅱ）设则t₁=m+x，t₂=m-x，则t₁+t₂=2m，t₁-t₂=2x，利用做差法，得到f（m+x）-f（m-x）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，构造函数$g（x）=mln\frac{m+x}{m-x}-2x$，利用函数的单调性即可证明；
（Ⅲ）设点A，B的坐标分别是（x₁，0），（x₂，0），0＜x₁＜x₂，利用（Ⅰ）（Ⅱ）即可证明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴$f'（x）=\frac{m}{x}-2x+2m-1=-\frac{（2x+1）（x-m）}{x}$，
当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞0时，若x∈（0，m），则f'（x）＞0，f（x）单调递增，
若x∈（m，+∞），则f'（x）＜0，f（x）单调递减，
（Ⅱ）设则t₁=m+x，t₂=m-x，则t₁+t₂=2m，t₁-t₂=2x，
∴f（t₁）-f（t₂）=mln$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$-（t₁-t₂）（t₁+t₂）+（2m-1）（t₁-t₂）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，
∴f（m+x）-f（m-x）=mln$\frac{m+x}{m-x}$-2x，
设$g（x）=mln\frac{m+x}{m-x}-2x$，
则$g'（x）=\frac{{2{m^2}}}{{{m^2}-{x^2}}}$，且m＞0，0＜x＜m，
∴g'（x）＞0，g（x）在（0，m）上递增，
∴g（x）＞g（0）=m＞0，
∴f（m+x）＞f（m-x）．
（Ⅲ）设A，B的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂则x₁+x₂=2x₀
由（Ⅰ）可知m＞0，且0＜x₁＜m＜x₂，
由（Ⅱ）可得f（2m-x₁）=f（m+（m-x₁））＞f（m-（m-x₁））=f（x₁）=f（x₂）=0，
又∵f（x）在（m，+∞）上单调递减，
∴2m-x₁＜x₂即2m＜x₁+x₂=2x₀?m＜x₀
由（Ⅰ）f'（x₀）＜0．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．