Question

1．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（Ⅰ）∠PBD=30°；
（Ⅱ）AD=DC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，即可证明∠PBD=30°；
（Ⅱ）作SN⊥BP于点N，则$SN=\frac{1}{2}SB$，证明Rt△PMS≌Rt△PNS，∠DAC=45°=∠DCA，即可证明AD=DC．

解答 证明：（Ⅰ）由已知得∠ADC=90°，从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心．
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM=$\frac{1}{2}∠BPD$=∠A=60°，
从而∠PBM=30°． …（5分）
（Ⅱ）作SN⊥BP于点N，则$SN=\frac{1}{2}SB$．

又$DS=2SB，DM=MB=\frac{1}{2}BD$，
∴$MS=DS-DM=2SB-\frac{3}{2}SB=\frac{1}{2}SB=SN$，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以$∠PAB=\frac{1}{2}∠NPS=15°$，
故∠DAC=45°=∠DCA，所以AD=DC．…（10分）

点评 本题考查圆的性质，考查三角形相似的证明与运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．