Question

9．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常数，ω＞0）．若f（x）在区间[$\frac{1}{3}$，1]上具有单调性，且f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），则下列有关f（x）的每题正确的有
①②④
（请填上所有正确命题的序号）．
①f（x）的最小周期为2；    
②x=$\frac{1}{3}$是 f（x）的对称轴；
③f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上具有单调性；  
④y=f（x+$\frac{5}{6}$）为奇函数．

Answer 1

分析 由题意可得可得函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{3}$对称，且一个相邻的对称中心为（$\frac{5}{6}$，0），由此判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：由f（0）=f（$\frac{2}{3}$）=-f（1），可得函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{0+\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$对称，且一个对称中心为（$\frac{5}{6}$，0）．
故有$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，故函数的周期为2，f（x+$\frac{5}{6}$）为奇函数，故①②④正确．
由以上可得ω=π，再结合 $\frac{5}{6}$•π+φ=kπ，k∈z，可取φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）．
在[1，$\frac{5}{3}$]上，πx+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，故f（x）在[1，$\frac{5}{3}$]上没有单调性，故③不对．
故答案为：①②④．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题．