Question

20．△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的所对边的长，若acosB=1，bsinA=$\sqrt{2}$，且A-B=$\frac{π}{4}$．
（1）求a的值；
（2）求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可知bsinA=asinB，进而利用acosB=1，相加即可求得a．
（2）根据第一问先求得tanB的值，进而求得A和B的关系，利用正切的两角和公式求得答案．

解答 解：（1）由正弦定理知，bsinA=asinB=$\sqrt{2}$，①，
又acosB=1，②
①，②两式平方相加，得（asinB）²+（acosB）²=3，
因为sin²B+cos²B=1，
所以a=$\sqrt{3}$（负值已舍）；
（2）①，②两式相除，得$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{2}$，即tanB=$\sqrt{2}$，
因为A-B=$\frac{π}{4}$，
∴A=B+$\frac{π}{4}$，
∴tanA=tan（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$=--3-2$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键．