Question

18．在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4$\sqrt{3}$，则△ADC的面积的最大值为$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD•DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值．

解答 解：
在△ACD中，cos∠ADC=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AD•DC}$=$\frac{A{D}^{2}+D{C}^{2}-48}{2AD•DC}$=-$\frac{1}{2}$，
整理得AD²+CD²=48-AD•DC≥2•AD•DC，
∴AD•DC≤16，AD=CD时取等号，
∴△ADC的面积S=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD•DC≤4$\sqrt{3}$，
故答案为：$4\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了正弦定理的应用和余弦定理的应用．本题灵活运用了基本不等式的基本性质解决了三角形求最值的问题．