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    19．设集合M⊆{1，2，…，2011}，满足：在M的任意三个元素中，都可以找到两个元素a，b，使得a|b或b|a，求|M|的最大值（其中|M|表示集合M的元素个数）

    分析 当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21．利用反证法证明原式子成立．

    解答 解：当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21
    假设|M|≥22，设M中得元素为a1＜a2＜…＜ak（k≥22）
    首先证明an+2≥2an，否则an＜an+1＜an+2＜2an，那么an，an+1，an+2中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
    由上述结论知：a4≥2a2≥4，
    a6≥2a4≥8，…${a}_{22}≥2{a}_{20}≥{2}^{11}＞2011$矛盾！
    综上，|M|的最大值为21．

    点评 本题主要考查了集合在代数中的综合应用，属于难度较大的题型，常用作奥林匹克竞赛题目．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：
    M900700300100
    y0.53.56.59.5
    哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：
    M[0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]
    频数361263
    （1）设x=$\frac{M}{100}$，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；
    （参考公式：$\hat y=\hat bx+\hat a$；其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\overline a=\overline y-\hat b\overline x$）
    （2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．若复数z=2-i （ i为虚数单位），则$\frac{10}{z}$=（　　）
    A．4+2iB．20+10iC．4-2iD．$\frac{20}{3}+\frac{10}{3}i$

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
        xx1$\frac{1}{3}$x2$\frac{7}{3}$x3
    ωx+φ0$\frac{π}{2}$π$\frac{3π}{2}$2π
    Asin（ωx+φ）+B0$\sqrt{3}$0-$\sqrt{3}$0
    （Ⅰ）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；
    （Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{2}{3}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量$\overrightarrow{NM}$与$\overrightarrow{ON}$夹角θ的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    14．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则C的焦距等于（　　）
    A．2B．2$\sqrt{2}$C．2$\sqrt{3}$D．4

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    4．函数y=cos2（x+$\frac{π}{2}$）的单调递增区间（　　）
    A．（2kπ，2kπ+π）k∈ZB．（2kπ，2kπ+2π）k∈ZC．（kπ，kπ+$\frac{π}{2}$）k∈ZD．（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π）k∈Z

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足$\frac{f（x）}{g（x）}$=ax，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有穷数列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N•）的前n项和等于$\frac{63}{64}$，则n=6．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    8．已知圆C的圆心在直线y=x-2上
    （Ⅰ）若圆经过A（3，-2）和B（0，-5）两点．
    （i）求圆C的方程；
    （ii）设圆C与y轴另一交点为P，直线l过点P且与圆C相切．设D是圆C上异于P，B的动点，直线BD与直线l交于点R．试判断以PR为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；
    （Ⅱ）设点M（0，3），若圆C半径为3，且圆C上存在点N，使|MN|=2|NO|，求圆心C的横坐标的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    9．砷是广泛分布于自然界中的非金属元素，长期饮用高砷水会直接危害群众的身心健康和生命安全，而近水农村地区，水质情况更需要关注．为了解甲、乙两地区农村居民饮用水中砷含量的基本情况，分别在两地随机选取10个村子，其砷含量的调查数据如下（单位：mg/1000L）：
    甲地区的10个村子饮用水中砷的含量：
    52   32   41   72   43   35   45   61   53   44
    乙地区的10个村子饮用水中砷的含量：
    44   56   38   61   72   57   64   71   58   62
    （Ⅰ）根据两组数据完成茎叶图，试比较两个地区中哪个地区的饮用水中砷含量更高，并说明理由；
    （Ⅱ）国家规定居民饮用水中砷的含量不得超过50，现医疗卫生组织决定向两个地区中每个砷超标的村子派驻一个医疗救助小组．用样本估计总体，把频率作为概率，若从乙地区随机抽取3个村子，用X表示派驻的医疗小组数，试写出X的分布列并求X的期望．

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