Question

15．若x∈[0，2π]，则sinx+cosx＜1的概率是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论

解答 解：由sinx+cosx≤1得$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＜1，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}$+2kπ＜x$+\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{π}{4}$或2kπ+$\frac{3π}{4}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z
即-$\frac{3π}{4}$+2kπ＜x＜2kπ或2kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z
∵0≤x≤2π，
∴当k=0时，x的取值范围是$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{5π}{4}$，
当k=1时，$\frac{5π}{4}$＜x＜2π，则“sinx+cosx≤1”发生的概率P=$\frac{\frac{5π}{4}-\frac{π}{2}+2π-\frac{5π}{4}}{2π}=\frac{3}{4}$；
故选C．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．