Question

13．如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置．
（Ⅰ）如图2，当A₁C⊥CD时，求证：A₁C⊥平面BCDE；
（Ⅱ）如图3，设平面A₁CD与平面A₁BE所成锐二面角为θ，当tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，求点C到平面A₁BE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明BC⊥A₁C，DE⊥A₁C，A₁C⊥CD，即可证明A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）延长CD，BE交于点F，则平面A₁CD∩平面A₁BE=A₁F，过D作DQ⊥A₁F，垂足为Q，连接EQ，证明∠DQE为二面角C-A₁F-B的平面角，A₁D⊥CD，建立如图所示的坐标系，求出平面A₁BE的法向量，即可求出点C到平面A₁BE的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵∠C=90°，DE∥BC，
∴BC⊥CD，BC⊥A₁D，CD∩A₁D=D，
∴BC⊥平面A₁CD，
∴BC⊥A₁C，DE⊥A₁C，
∵A₁C⊥CD，CD∩BC=C，CD∩DE=D，DE∥BC，
∴A₁C⊥平面BCDE．
（Ⅱ）解：延长CD，BE交于点F，则平面A₁CD∩平面A₁BE=A₁F，过D作DQ⊥A₁F，垂足为Q，连接EQ，
∵BC⊥平面A₁CD，DE∥BC，
∴DE⊥平面A₁CD，
∴EQ⊥A₁F，
∴∠DQE为二面角C-A₁F-B的平面角，即tanθ=tan∠DQE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由图1，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，且DE∥BC，DE=2，
∴AD=4，CD=2，
图3中，DF=A₁D=4，∴DQ=$\frac{DE}{tanθ}$=2$\sqrt{2}$，
∴A₁Q=QF=2$\sqrt{2}$，
∴∠A₁DF=90°，
∴A₁D⊥CD，
∵A₁D⊥DE，DC⊥DE，
建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，3，0），E（0，2，0），A₁（0，0，4）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，3，-4），$\overrightarrow{BE}$=（-2，-1，0），
设平面A₁BE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-4z=0}\\{-2x-y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（-1，2，1），
∵$\overrightarrow{CB}$=（0，3，0），
∴点C到平面A₁BE的距离为$\frac{6}{\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角，考查点C到平面A₁BE的距离，知识综合强．