Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±3x
• B． y=±2$\sqrt{2}$x
• C． y=±（$\sqrt{3}$+1）x
• D． y=±（$\sqrt{3}$-1）x

Answer 1

分析 过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，可得|BF₁|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：∵过F₁作圆x²+y²=a²的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF₂|，
∴|BF₁|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得$\frac{y}{a}=\frac{c+x}{b}=\frac{2a}{c}$
∴x=$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，y=$\frac{2{a}^{2}}{c}$
∴B（$\frac{2ab-{c}^{2}}{c}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$）
代入双曲线方程，整理可得b=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±（$\sqrt{3}$+1）x，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．