Question

9．已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q（q＞0），且满足a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b
₅
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$＜2．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：b_n=2^n-1，可得T_n=2ⁿ-1，可得$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{2}{{2}^{n}}$ （n≥2时），即可证明．

解答 （1）解：满足a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{q=2}\end{array}\right.$，
故a_n=3n-2．
（2）证明：由（1）可得：b_n=2^n-1，
∴T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1，
∵$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{2}{{2}^{n}}$ （n≥2时），
∴当n≥2时，
∴$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{2-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$
＜$1+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$＜2．
当n=1时，$\frac{1}{{T}_{1}}$=1＜2符合．
综上所述，不等式成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．