Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线与椭圆相较于P、Q两点，设△PQF₂内切圆的面积为S，求S最大时圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，设出椭圆方程为$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，通过点的坐标在椭圆上，求解即可．
（Ⅱ）设直线PF₁的方程为x=ny-1，与椭圆联立，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理求出|y₁-y₂|，令t=n²+1，利用基本不等式求出最值．然后求解△PQF₂面积最大值，得到PF₂的方程，圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故设椭圆方程为$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，
将$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$带入上式，得m²=1．
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）设直线PF₁的方程为x=ny-1，与椭圆联立得，（n²+2）y²-2ny-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{2n}{{{n^2}+2}}$，g（x），
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{n^2}+1}}{{{{（{n^2}+2）}^2}}}}$…．（8分）
令t=n²+1，则$|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{{{t^2}+2t+1}}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}≤\sqrt{2}$，
当且仅当n=0时等号成立．
由题意，因为△PQF₂的周长为定值，
因此当△PQF₂面积取最大值时，它的内切圆面积S也取得最大值，
而${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}||{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$，
所以，当n=0时，S取得最大值．
此时，△PQF₂的内切圆圆心一定在x轴上，
设其坐标为（x₀，0），取点P的坐标为$（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
则PF₂的方程为$\sqrt{2}x+4y-\sqrt{2}=0$．
∴$|{{x_0}+1}|=\frac{{|{\sqrt{2}{x_0}-\sqrt{2}}|}}{{3\sqrt{2}}}=r$，得${x_0}=-\frac{1}{2}$或x₀=-2（舍）
∴$r=\frac{1}{2}$，圆心为$（-\frac{1}{2}，0）$，此时圆的方程为${（x+\frac{1}{2}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$．…（12分）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查韦达定理的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．