Question

13．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在点Q，使得直线CQ和平面BCP所成角θ的正弦值为$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$？若存在，请说明点Q位置；
若不存在，请说明不存在的理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC；证明AB⊥平面PCO即可；
（Ⅱ）根据题意，以O为坐标原点，以OC，OB，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O-xyz，
求出平面BCP的一个法向量，假设存在点Q满足题意，求满足条件的点Q坐标是否存在．

解答 解：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC；…（1分）
∵AP=BP，∴PO⊥AB；…（2分）
又四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB；
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO；…（4分）
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC；…（5分）

（Ⅱ）由AB=PC=2，$AP=BP=\sqrt{2}$，得PO=1，$OC=\sqrt{3}$，
∴OP²+OC²=PC²，OP⊥OC；…（6分）
以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O-xyz，
则B（0，1，0），$C（\sqrt{3}，0，0）$，P（0，0，1），$D（\sqrt{3}，-2，0）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（\sqrt{3}，-1，0）$，$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{3}，0，-1）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{3}，-1，0）$；…（7分）
设平面BCP的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，b，c）$，则$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}-c=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}-b=0\end{array}\right.$，
∴$c=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$…（10分）
假设存在点Q满足题意，设Q（a，b，0），
∵点Q在线段AD上，则设$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{AD}$$（a，b+1，0）=λ（\sqrt{3}，-1，0）$，
解得$Q（\sqrt{3}λ，-1-λ，0）$，
∴$\overrightarrow{CQ}=（\sqrt{3}λ-\sqrt{3}，-1-λ，0）$；…（11分）
依题意$sinθ=cos＜\overrightarrow{CQ}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{CQ}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{CQ}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
代入解得$λ=\frac{1}{2}$；
∴存在点Q满足题意，点Q为AD中点．   …（13分）

点评 本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了空间向量的应用问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．