Question

1．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若F关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点P在双曲线上，则C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 求出双曲线右焦点关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点P的坐标，代入双曲线方程整理求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的右焦点F（c，0），
设F（c，0）关于于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\sqrt{3}•\frac{{x}_{0}+c}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{c}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}c}\end{array}\right.$，即P（$-\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得：${e}^{2}=4-2\sqrt{3}$（舍），或${e}^{2}=4+2\sqrt{3}$．
∴e=$\sqrt{3}+1$．
故选：D．

点评 本题考查点关于直线的对称点的求法，考查了双曲线的简单几何性质，是基础的计算题．