Question

2．已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y²=16x的焦点为其中一个焦点，以双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若E，F是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，则当直线PE，PF的斜率都存在，并记为k_PE、k_PF时，k_PE•k_PF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知抛物线的焦点为（4，0），双曲线的焦点为（±5，0），设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由a=5，c=4，由此能求出椭圆的标准方程；
（2）设出点P，E，F的坐标，表示出k_PE、k_PF，运用点差法，结合斜率公式，即可得到k_PE•k_PF为定值．

解答 解：（1）由抛物线y²=16x的焦点为（4，0），可得c=4，
∴可设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点（±5，0）为顶点，
即有a=5，
∴b²=25-16=9，
故椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）设E、F是椭圆上关于原点对称点，设E（m，n），则F（-m，-n），
设P点坐标为（x，y），则$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
两式相减可得，$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{9}$=0，
即为$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
又k_PE=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PF=$\frac{y+n}{x+m}$，
则k_PE•k_PF=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
∴k_PE•k_PF为定值，且为-$\frac{9}{25}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义与几何性质，以及点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．