Question

12．如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC是等边三角形，PE∥BC，过BC作平面CNMB交线段AP于点N，交线段AE于M．
（1）求证：MN∥PE；
（2）若平面ABC与平面MNC所成的锐二面角为30°，试确定点N的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PE∥CB，得BC∥平面APE，由此能证明MN∥PE．
（Ⅱ）由MN∥BC，得C、B、M、N共面，∠NCA为二面角N-CB-A的平面角，由此确定点N的位置．

解答 （1）证明：因为PE∥CB，所以BC∥平面APE  …（3分）
又依题意平面ABC交平面APE于MN，
故MN∥BC，
所以MN∥PE．…（6分）
（2）解：由（1）知MN∥BC，故C、B、M、N共面，
平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N-CB-A．
因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，
所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，
故∠NCA为二面角N-CB-A的平面角…（10分）
所以∠NCA=30°．
所以CN⊥PA．
所以N是PA的中点．…（14分）

点评 本题考查直线与直线平行的证明，考查使锐二面角的大小为30°的点N的位置，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．