Question

2．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₂，a₃，a₅成等比数列，S₆=45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）令p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{n-1}{n+1}$，是否存在正整数M，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M 恒成立，若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过设公差为d，利用${{a}_{3}}^{2}$=a₂a₅、S₆=45得a₂=d=3，进而可得结论；
（2）由（1）计算可得p_n=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$，并项相加可得p₁+p₂+…+p_n-2n=2-$\frac{2}{n+1}$，进而可得结论．

解答 解：（1）设公差为d，由已知，得${{a}_{3}}^{2}$=a₂a₅，
即$（{a}_{2}+2d）^{2}$=a₂（a₂+3d），解得a₂=d，
由S₆=45得2a₂+3d=15，∴a₂=d=3，
∴数列{a_n}的通项a_n=3n-3，
前n项和S_n=$\frac{3n（n-1）}{2}$；
（2）结论：存在最小的正整数M=2，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．
理由如下：
p_n=$\frac{{S}_{n+2}}{{S}_{n+1}}$+$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{\frac{3（n+2）（n+1）}{2}}{\frac{3n（n+1）}{2}}$+$\frac{n-1}{n+1}$=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+1}$，
∴p₁+p₂+…+p_n-2n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2-$\frac{2}{n+1}$．
由n为整数，可得p₁+p₂+…+p_n-2n＜2，
故存在最小的正整数M=2，使不等式p₁+p₂+…+p_n-2n≤M恒成立．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，判定和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．