Question

10．已知f（x）=x²+2ax+2，x∈R．
（Ⅰ）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围．
（Ⅱ）若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个不同的根α，β，求a的取值范围，并证明$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二次函数的对称轴和值域的关系寻找解决问题的突破口，关键要理解f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域等价于
f（x）的最小值要小于二次函数顶点的横坐标；
（Ⅱ）将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键，利用方程根与系数的关系，进行放缩求解转化是证明本题的关键．

解答 解：（Ⅰ）当x∈R时，函数f（x）=x²+2ax+2的图象是开口向上，
且对称轴为x=-a的抛物线，f（x）的值域为[2-a²，+∞），
所以F（x）=f[f（x）]的值域也为[2-a²，+∞）的充要条件
是2-a²≤-a，即a²-a-2≥0，
∴a≤-1，或a≥2，
即a的取值范围为（-∞，-1]∪[2，+∞）
证明：（Ⅱ）f（x）+|x²-1|=2，即x²+2ax+|x²-1|=0，由分析知a≠0
不妨设0＜α＜β＜2，令H（x）=x²+2ax+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}2ax+1，\left|x\right|≤1\\ 2{x}^{2}+2ax-1，\left|x\right|＞1\end{array}\right.$
因为H（x）在（0，1]上是单调函数，所以H（x）=0在（0，1]上至多有一个解．
若α，β∈（1，2），即α，β就是2x²+2ax-1=0的解，αβ=-$\frac{1}{2}$＜0，与题设矛盾．
因此，α∈（0，1]，β∈（1，2）．由H（α）=0得a=-$\frac{1}{2α}$，所以a≤-$\frac{1}{2}$；
由H（β）=0得a=$\frac{1}{2β}-β$，所以-$\frac{7}{4}$＜a＜-$\frac{1}{2}$．
故当-$\frac{7}{4}$＜a＜-$\frac{1}{2}$时，方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有两个解．
由a=-$\frac{1}{2α}$和a=$\frac{1}{2β}-β$消去a，得 $\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$=2β．
由β∈（1，2），得$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}$＜4．

点评 本题考查复合函数的知识，考查二次函数的值域意识，考查方程的根与方程系数之间的关系，求取值范围关键要确定出字母满足的不等式．