Question

19．设x，y满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{2x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{a+b}{ab}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则$\frac{a+b}{ab}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率$-\frac{a}{b}＜0$，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，
即2a+4b=2，∴a+2b=1，
$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（a+2b）=1+2+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=$\sqrt{2}$b时取等号．
故最小值为3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．