Question

9．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，连结AC交圆O于D，P为AD的中点，过P作不同于AD的弦交圆O于M、N两点，若BC=6，CD=4
（Ⅰ）求MP•NP的值
（Ⅱ）求证：∠C=∠AMD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切割线定理、相交弦定理，即可求MP•NP的值
（Ⅱ）证明∠C=∠DBA，∠DBA=∠AMD，即可证明∠C=∠AMD．

解答 （Ⅰ）解：因为BC为圆O的切线，所以BC²=CD•AC，
因为BC=6，CD=4
所以AC=9，
所以AD=5，
因为P为AD的中点，
所以AP=PD=$\frac{5}{2}$
所以MP•NP=AP•PD=$\frac{25}{4}$
（Ⅱ）证明：连接BD，则∠ABC=90°，
所以∠C+∠CAB=90°，
因为AB为直径，
所以∠ADB=90°，
所以∠CAB+∠DBA=90°，
所以∠C=∠DBA，
因为∠DBA=∠AMD，
所以∠C=∠AMD．

点评 本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理、相交弦定理是关键．