Question

14．已知命题p函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+x有两个极值点；命题q：函数g（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a}$在（0，+∞）上为增函数，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 对于命题p，先求导，在令导数等于0，得到△=a²-4＞0，求出a的范围，对于命题q，根据幂函数为增函数，得到指数大于0，再根据条件之间关系即可判断．

解答 解：命题p：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+x有两个极值点，
∴f′（x）=x²+ax+1=0有不相等的实根，
∴△=a²-4＞0，
解得-2＜a＜2，
命题q：函数g（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a}$在（0，+∞）上为增函数，
∴a²-a＞0，
解得a＞0，或a＜1，
∴p推不出q，q推不出p，
∴p是q的既不充分也不必要条件，
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的极值点，以及幂函数的性质，和充分必要条件，属于中档题．