Question

6．已知函数f（x）=（x-a）|x|的图象与直线y=1有且只有一个交点，则实数a的取值范围是a＞-2．

Answer 1

分析 去绝对值，将函数写成分段函数，然后利用数形结合，分类讨论思想去解决．

解答 解：f（x）=（x-a）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;x≥0}\\{-{x}^{2}+ax\\;x＜0}\end{array}\right.$，
①当a＞0时，函数f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，$\frac{a}{2}$）单调递减，在（$\frac{a}{2}$，+∞）单调递增，
此时，函数f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点，满足题意，
②当a=0时，函数f（x）的图象在（-∞，+∞）单调递增，
此时，函数f（x）的图象与直线y=1且只有有一个交点，满足题意，
③当a＜0时，函数f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）单调递增，在（$\frac{a}{2}$，0）单调递减，在（0，+∞） 单调递增，
∴要使函数f（x）=的图象与直线y=1有且只有一个交点，只需满足f（$\frac{a}{2}$）＜1即$\frac{{a}^{2}}{4}$＜1，解得-2＜a＜0，
综上：a＞-2．

点评 本题主要考查数形结合，分类讨论思想与计算能力．