Question

13．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且$F（x）=\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=e^x+x-lnx+1，若函数g（x）是区间$[\frac{m}{2}，+∞）$上的“完美函数”，则整数m的最小值为3．

Answer 1

分析 求解导数g′（x）=e^x+1$-\frac{1}{x}$，根据性质得出g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调递增；构造函数G（x）=$\frac{g（x）}{x}$，G′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-2+lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
设m（x）=xe^x-e^x-2+lnx，再次求解导数得出m′（x）=xe^x$+\frac{1}{x}$＞0，m（x）在（0，+∞）上单调递增，利用特殊值判断m（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{1}{2}}$-2-ln2＜0，m（1）=e-e-2+0=-2＜0，m（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{3}{2}}$-2+ln（$\frac{3}{2}$）＞0（根据图象判断），确定在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，有G′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-2+lnx}{{x}^{2}}$＞0成立，函数G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是单调递增函数．再考虑函数g（x）是区间$[\frac{m}{2}，+∞）$上的“完美函数”，定义，判断出整数m的最小值．

解答 解：∵g（x）=e^x+x-lnx+1，x＞0，
∴g′（x）=e^x+1$-\frac{1}{x}$在（0，+∞）单调递增，g′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-1＞0，
∴可以得出：g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调递增．
∵G（x）=$\frac{g（x）}{x}$，G′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-2+lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
设m（x）=xe^x-e^x-2+lnx，
m′（x）=xe^x$+\frac{1}{x}$＞0，m（x）在（0，+∞）上单调递增，
m（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{1}{2}}$-2-ln2＜0，
m（1）=e-e-2+0=-2＜0，
m（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{\frac{3}{2}}$-2+ln（$\frac{3}{2}$）＞0（根据图象判断）
∴在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，有G′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}-2+lnx}{{x}^{2}}$＞0成立，
∴函数G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是单调递增函数，
综合判断：g（x）=e^x+x-lnx+1，与G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是单调递增函数，
g（x）=e^x+x-lnx+1，与G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[1，+∞）上不是都为单调递增函数，
∵函数g（x）是区间$[\frac{m}{2}，+∞）$上的“完美函数”，整数m．
∴m≥3，
即最小值为3．


故答案为：3

点评 本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断的递增，思路要清晰，属于难题．