Question

7．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）．过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t为参数）．设直线l与曲线C分别交于M，N两点．若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则a的值为1．

Answer 1

分析 直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程．利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．

解答 解：曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y²=2ax
l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t为参数），代入y²=2ax得到：
t²-（8+2a）t+16+4a=0，
所以：t₁+t₂=8+2a，t₁t₂=16+4a，①
则|PM|=t₁，|PN|=t₂，|MN|=|t₁-t₂|
|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
所以：|t₁-t₂|=|t₁t₂|，②
由①②得：a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，利用根和系数的关系建立方程组求解，等比数列的应用．