Question

1．已知椭圆M：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，点F₁，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F₁的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
（Ⅰ）求M的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆M方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，直接计算即可；
（Ⅱ）通过设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$＞0可得$∠B∈（0，\frac{π}{2}）$，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴椭圆M的短轴长为$2\sqrt{3}$，
∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=1$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即M的离心率为$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）结论：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．
理由如下：
由题意知：C（-2，0），F₁（-1，0），
设B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$．
∵$\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$
=$2+3{x_0}+x_0^2+y_0^2$
=$\frac{1}{4}x_0^2+3{x_0}+5＞0$，
∴cos∠F₁BC＞0，
∴∠F₁BC为锐角，即$∠B∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴点B不在以AC为直径的圆上，即：不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．