Question

10．已知$\overrightarrow{m}$=（cosx，sin2x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若函数g（x）=bf（x）+c在x=A处取最大值6，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量数量积的运算性质及辅助角公式计算可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，结合三角函数的有界性即得结论；
（Ⅱ）通过函数g（x）在x=A处取最大值6，可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}b+c=6}\\{2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）}\end{array}\right.$，进而可得A=$\frac{π}{6}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题可知：f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
=（cosx，sin2x）•（cosx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴g（x）=bf（x）+c=bsin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$b+c，
∵函数g（x）=bsin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$b+c在x=A处取最大值6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}b+c=6}\\{2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）}\end{array}\right.$，
又∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{6}$，
∴6=$\frac{3}{2}$b+c≥2$\sqrt{\frac{3}{2}b•c}$，即$\frac{3}{2}$bc≤9（当且仅当$\frac{3}{2}$b=c时等号成立），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{6}$•（$\frac{3}{2}$bc），
∴S_△ABC≤$\frac{1}{6}$•9=$\frac{3}{2}$，
即△ABC面积的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查三角函数恒等变换及最值，注意解题方法的积累，属于中档题．