Question

8．如图，已知圆O：x²+y²=a²（a＞0）过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4
（1）求圆O和抛物线C的标准方程；
（2）若P为抛物线C在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线y=kx+b（设为l₁）被圆O截得的弦长为$\frac{\sqrt{95}}{5}$，直线l₂过点P且垂直直线l₁，设l₂与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长．

Answer 1

分析 （1）通过抛物线C的方程可得焦点F（$\frac{p}{2}$，0），利用圆O：x²+y²=a²（a＞0）过点F可知a=$\frac{p}{2}$，利用过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4可得p=2，进而可得a=1，从而可得结论；
（2）通过直线l₁与抛物线方程，利用△=0可得kb=1，利用点O到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$与l₁被圆O截得的弦长为2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{95}}{5}$，计算可得k=2、b=$\frac{1}{2}$，代入ky²-4y+4b=0得y=1，将y=1代入抛物线方程y²=4x得P（$\frac{1}{4}$，1），联立l₂与抛物线的方程可得M（$\frac{81}{4}$，-9），进而可得结论．

解答 解：（1）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的方程可得焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
又圆O：x²+y²=a²（a＞0）过点F，∴a=$\frac{p}{2}$，
又∵过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4，
∴2p=4，∴p=2，a=1，
∴圆O的标准方程为：x²+y²=1，
抛物线C的标准方程为：y²=4x；
（2）依题意可知直线l₁的斜率k＞0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：ky²-4y+4b=0，
由△=16-16kb=0，可得kb=1，
∵点O到直线的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴l₁被圆O截得的弦长为2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{{k}^{2}（1+{k}^{2}）}}$=$\frac{\sqrt{95}}{5}$，
化简得：k⁴+k²-20=0，解得k=2（k=-2舍去），
又kb=1，∴b=$\frac{1}{2}$，
将k=2、b=$\frac{1}{2}$代入ky²-4y+4b=0，得y=1，
将y=1代入抛物线方程y²=4x，得P（$\frac{1}{4}$，1），
∴l₂的斜率为-$\frac{1}{2}$，故l₂的方程为：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{4}$），即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{8}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{8}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x整理得：y²+8y-9=0，
由韦达定理可知：y_Py_M=9，
又∵P（$\frac{1}{4}$，1）∴y_M=-9，进而可得M（$\frac{81}{4}$，-9），
∴|PM|=$\sqrt{（\frac{81}{4}-\frac{1}{4}）^{2}+（-9-1）^{2}}$=10$\sqrt{5}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．