Question

4．已知|${\overrightarrow{OA}}$|=2，|${\overrightarrow{OB}}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，点C在AB上，∠AOC=30°．则向量$\overrightarrow{OC}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$
• B． $\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$
• C． $\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$
• D． $\frac{5}{4}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$

Answer 1

分析 过点C做CE∥OA，CF∥OB，得到两个三角形相似，根据三角形相似得到对应边成比例，把OE，OF都用OC来表示，代入比例式，求出OC的值，做出向量之间的关系．

解答 解：过点C做CE∥OA，CF∥OB  
设OC长度为a
有△CEB∽△AFC
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{CE}{AF}$   ①
∵∠AOC=30°  
则CF=$\frac{1}{2}$a=OE    
OF=CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BE=2-$\frac{1}{2}$a  AF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
代入①中化简整理可解：a=$\sqrt{3}$，
OF=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$OA，OE=$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{4}$OB，
∴$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$，
故选：B．

点评 本题考查平面向量基本定理及其意义，本题解题的关键是构造平行四边形，利用平行四边形法则来解题，本题是一个易错题