Question

5．设实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10≤0}\\{x-2y+8≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$的最小值为（　　）

• A． 12
• B． $\frac{21}{3}$
• C． $\frac{67}{6}$
• D． 11

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当y=$-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-10=0}\\{x-2y+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$=1，
$\frac{8a+3b+2ab}{ab}$=$\frac{8}{b}$+$\frac{3}{a}$+2=2+（$\frac{3}{a}$+$\frac{8}{b}$）（$\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$）
=2+1+4+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{8a}{3b}$≥7+2$\sqrt{\frac{3b}{2a}•\frac{8a}{3b}}$=7+4=11，
当且仅当$\frac{3b}{2a}$=$\frac{8a}{3b}$时取=号，
故最小值为11，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．