Question

1．（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0）且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用含绝对值的不等式性质|x|+|y|≥|x+y|来处理即可．
（Ⅱ）由柯西不等式证明此题，关键在于怎样构造柯西不等式的形式．

解答 解：（Ⅰ）∵?x∈R，2f（x）=2|x+3|≥g（x+4）=m-|x+4-11|-m-2|x-7|，…（1分）
从而有m≤2（|x-7|+|x+3|）…（2分）
由绝对值不等式的性质知  2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20，
因此，实数m的取值范围为（-∞，20]…（3分）
（Ⅱ）解：由柯西不等式：
[$（\sqrt{2}x）^{2}+（\sqrt{3}y）^{2}+（\sqrt{6}z）^{2}$][$（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{3}}）^{2}+（\frac{1}{\sqrt{6}}）^{2}$]$≥（\frac{1}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{3}}×\sqrt{3}y+\frac{1}{\sqrt{6}}×\sqrt{6}y）^{2}$…（5分）
因为2x²+3y²+6z²=a（a＞0），
所以，a≥（x+y+z）²，
因为x+y+z的最大值是1，所以a=1，
当2x=3y=6z时，x+y+z取最大值，…（6分）
所以a=1．…（7分）

点评 本题主要考查柯西不等式和含绝对值的不等式的应用，属于中档题型，高考常有涉及．