Question

15．在平面直角坐标系xOy中，E，F两点的坐标分别为（0，1）、（0，-1），动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为$-\frac{1}{4}$．
（1）求动点G的轨迹方程；
（2）设A，B为动点G的轨迹的左右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交G的轨迹于C点，连PB并延长交G的轨迹于D点，试问直线CD是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设动点G的坐标（x，y），求出直线EG的斜率，直线FG的斜率，利用已知条件求解即可．
（2）设P（4，y₀）（y₀≠0），又A（-2，0），则K_AP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，得到直线AP的方程，代入椭圆方程求出C的纵坐标，求出K_CD，推出直线CD的方程为y=k_CD（x-x_C）+y_C，利用直线系求解即可．

解答 解：（1）已知E（0，1），F（0，-1），设动点G的坐标（x，y），
∴直线EG的斜率${k_1}=\frac{y-1}{x}$，直线FG的斜率${k_2}=\frac{y+1}{x}$（x≠0），
又${k_1}×{k_2}=-\frac{1}{4}$，∴$\frac{y-1}{x}×\frac{y+1}{x}=-\frac{1}{4}$，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\;（{x≠0}）$．
（2）设P（4，y₀）（y₀≠0），又A（-2，0），则K_AP=$\frac{{y}_{0}}{6}$，
故直线AP的方程为：$y=\frac{y_0}{6}（x+2）$，
代入椭圆方程并整理得：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x²+2x-1．
由韦达定理：x∈[0，+∞）即a＞0，∴${y_C}=\frac{{6{y_0}}}{{9+{y_0}^2}}$，
同理可解得：${x_D}=\frac{{2{y_0}^2-2}}{{1+{y_0}^2}}，\;{y_D}=\frac{{-2{y_0}}}{{1+{y_0}^2}}$，∴${k_{CD}}=\frac{{{y_C}-{y_D}}}{{{x_C}-{x_D}}}=\frac{{2{y_0}}}{{3-{y_0}^2}}$，
故直线CD的方程为y=k_CD（x-x_C）+y_C，即$（3-{y_0}^2）y+2{y_0}（-x+1）=0$，
∴直线CD恒过定点（1，0）．

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．