Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0．
（1）求角C的大小；
（2）求a²+b²的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=cosC，从而可求C．
（2）由余弦定理整理可得a²+b²=1+$\sqrt{2}$ab，①，利用基本不等式aab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②，由代入法，即可得到当且仅当a=b时取到等号，从而可求取得最大值时∠A，∠B的值．

解答 解：（1）由cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0．
可得cosBsinC-（a-sinB）cosC=0，
即为sin（B+C）=acosC，
即有sinA=acosC，
∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinC}{c}$=sinC，
∴sinC=cosC，即tanC=1，
∴C=$\frac{π}{4}$；
（2）∵a²+b²-c²=2abcosC，
∴a²+b²=c²+2abcos$\frac{π}{4}$=1+$\sqrt{2}$ab，①，
∵ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$②，
∴②代入①可得：a²+b²≤1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a²+b²），
∴a²+b²≤2+$\sqrt{2}$，
当且仅当a=b时取到等号，
即取到最大值2+$\sqrt{2}$时，A=B=$\frac{3π}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．