Question

20．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），且∠B为钝角．
（Ⅰ）求角A的大小，并求出角C的范围；
（Ⅱ）若a=$\frac{1}{2}$，求b-$\sqrt{3}$c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知的等式变形，然后利用余弦定理求得cosA，再结合角A的范围求A，再由∠B为钝角可得C的范围；
（Ⅱ）利用正弦定理得到b=sinB，c=sinC，代入b-$\sqrt{3}$c后利用辅助角公式化积，再由C的范围得答案．

解答 解：（Ⅰ）由b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），得${b}^{2}-\sqrt{3}bc={a}^{2}-{c}^{2}$，
得${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=\sqrt{3}bc$，
于是$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$
∵B为钝角，于是A+C$＜\frac{π}{2}$，又A=$\frac{π}{6}$，∴$0＜C＜\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理可知，$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\frac{1}{2}}{sin\frac{π}{6}}=1$，
∴b=sinB，c=sinC．
$b-\sqrt{3}c=sinB-\sqrt{3}sinC=sin（\frac{5π}{6}-C）-\sqrt{3}sinC$
=$\frac{1}{2}cosC-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC=cos（\frac{π}{3}+C）$，
又0$＜C＜\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$b-\sqrt{3}c=cos（\frac{π}{3}+C）∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的应用，训练了两角和与差的余弦公式，是中低档题．