Question

3．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a²=b²+c²+bc，a=$\sqrt{3}$，S为△ABC的面积，则S+$\sqrt{3}$cosBcosC的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 运用余弦定理可得A，再由正弦定理可得外接圆的半径，再由三角形的面积公式和两角差的余弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²+bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，可得A=$\frac{2π}{3}$，
设△ABC外接圆的半径为R，则2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=2，
解得R=1，
∴S+$\sqrt{3}$cosBcosC=$\frac{1}{2}$bcsinA+$\sqrt{3}$cosBcosC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc+$\sqrt{3}$cosBcosC
=$\sqrt{3}$sinBsinC+$\sqrt{3}$cosBcosC=$\sqrt{3}$cos（B-C），
故S+$\sqrt{3}$cosBcosC的最大值为$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查两角和差的余弦公式和余弦函数的值域，属于中档题．