Question

2．已知f（x）=lnx-e^x+a．
（1）若x=1是f（x）的极值点，讨论f（x）的单调性；
（2）当a≥-2时，证明f（x）在定义域内无零点．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用x=1是f（x）的极值点，求出a的值，再利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性
（2）a≥-2时，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，只需证明g（x）=lnx-e^x-2＜0，求出g（x）_max＜0，即可得出结论．

解答 （1）解：∵f（x）=lnx-e^x+a，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x+a，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴1-e^1+a=0，
∴a=-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x-1，
x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）内单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）内单调递减；
（2）证明：当a≥-2时，e^x+a≥e^x-2，lnx-e^x+a≤lnx-e^x-2，
令g（x）=lnx-e^x-2．
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x-2，
由g′（x）=0得$\frac{1}{x}$=e^x-2，方程有唯一解x₀∈（1，2），
∴x∈（0，x₀）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，x₀）内单调递增，
x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在（x₀，+∞）内单调递减，
∴g（x）_max=lnx₀-e^x₀-2=-x₀+2-$\frac{1}{{x}_{0}}$
∵x₀∈（1，2），
∴x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＞2，
∴g（x）_max＜0
综上，当a≥-2时，f（x）＜0，
∴f（x）在定义域内无零点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．