Question

10．如图，A是两条平行直线之间的一定点，且点A到两条平行直线的距离分别为AM=1，AN=$\sqrt{3}$．设△ABC，AC⊥AB，且顶点B、C分别在两条平行直线上运动，则$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{3}}{AC}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据已知条件把原式转化为sin∠MBA+sin∠NCA，进而利用角的关系，和两角和公式对其化简确定最大值．

解答 解：∵AM=1，AN=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{\sqrt{3}}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$+$\frac{AN}{AC}$=sin∠MBA+sin∠NCA，
∵∠MAB+∠NAC=90°，∠NCA+∠NAC=90°，
∴∠NAC=∠MAB，
∴∠MAB+∠MBA=90°，
∴sin∠MBA+sin∠NCA=sin∠MBA+cos∠MBA=$\sqrt{2}$sin（∠MBA+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，当∠MBA=$\frac{π}{4}$取最大值，
故答案为：$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了解三角形问题的实际应用．解题重要的地方是把实际问题转化为解三角形的问题．