Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}（n∈{N^*}）$，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n个偶数项的和T_n．

Answer 1

分析 （I）运用递推关系式S_n=$\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}（n∈{N^*}）$，n=1时求解，a₂=2；再运用求解a₃，a₄；
（II）运用递推关系式得出${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}{a_{n+2}}-\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$，化简得出a_n+2-a_n=2，可判断出数列{a_n}的偶数项是以2为公差的等差数列．再运用等差数列求和公式即可．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}（n∈{N^*}）$，a₁=1，a_n≠0，
∴${a_1}=\frac{1}{2}{a_1}{a_2}$，即a₂=2；
同理a₃=3，a₄=4．
（Ⅱ）∵${S_n}=\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$，∴${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{1}{2}{a_{n+1}}{a_{n+2}}-\frac{1}{2}{a_n}{a_{n+1}}$，
∵a_n≠0，∴a_n+1≠0，
∴${a_{n+2}}={a_n}+2（n∈{N^*}）$，即a_n+2-a_n=2，
∴数列{a_n}的偶数项是以2为公差的等差数列．
又由（Ⅰ）知，a₂=2，∴a_2n=2+2（n-1）=2n，
∴${T_n}=\frac{{n（{a_2}+{a_{2n}}）}}{2}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）={n^2}+n$．

点评 本题综合考查了数列的概念，符号语言，递推关系式，关键是判断分析数列的类型，运用公式即可．