Question

8．已知数列{a_n}共有9项，其中，a₁=a₉=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，记S=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$+$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$，则S的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 5$\frac{1}{2}$
• C． 6
• D． 6$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），根据数列比值的关系，结合S的表达式进行推导即可．

解答 解：令b_i=$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$（1≤i≤8），
则对每个符合条件的数列{a_n}满足$\sum_{i=1}^{8}$b_i=$\sum_{i=1}^{8}$$\frac{{a}_{i+1}}{{a}_{i}}$=$\frac{{a}_{9}}{{a}_{1}}$=1，
且b_i∈{2，1，-$\frac{1}{2}$}，1≤i≤8．
反之，由符合上述条件的八项数列{b_n}可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{a_n}．
记符合条件的数列{b_n}的个数为N，
由题意知b_i（1≤i≤8）中有2k个-$\frac{1}{2}$，2k个2，8-4k个1，
且k的所有可能取值为0，1，2．
对于三种情况，当k=2时，S取到最小值6．
故选：C．

点评 本题考查数列的相邻两项比值之和的最小值的求法，考查满足条件的数列的个数的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．