Question

7．某驾校甲、乙、丙三名学员在考科目一前的10次模拟考试中通过的次数统计如表：

学员	甲	乙	丙
通过的次数	9	8	9

假设三名学员子啊正式考试中发挥正常，且各人成绩互不影响，将前10次模拟考试通过的频率作为正式考试通过的概率
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学员在正式考试中均未通过的概率
（Ⅱ）设甲、乙、丙三名学员在正式考试中通过的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）记甲、乙、丙三名学员考试通过分别为事件A，B，C，由题意得P（A）=0.9．P（B）=0.8，P（C）0.9．因为三个事件互相独立，继而求得概率
（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3．得出各个值的概率，继而得到分布列期望值．

解答 解：（1）记甲、乙、丙三名学员考试通过分别为事件A，B，C，由题意得P（A）=0.9．P（B）=0.8，P（C）0.9．因为三个事件互相独立，则三名学员在正式考试中均为通过的概率P（$\overrightarrow{A}\overrightarrow{B}\overrightarrow{C}$）=$P（\overline{A}）P（\overline{B}）P（\overline{C}）$=0.1×0.2×0.1=0.002
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1.2.3
P（ξ=0）=$P（\overline{A}\overline{B}\overline{C}）$=0.002，P（ξ=1）=$P（\overline{A}\overline{B}C+\overline{B}\overline{C}A+\overline{A}B\overline{C}）$=$P（\overline{A}\overline{B}C）+P（\overline{B}A\overline{C}）+P（\overline{A}B\overline{C}）$=0.1×0.2×0.9+0.9×0.9×0.1+0.1×0.8×0.1=0.044
P（ξ=2）=$P（\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C}）$=$P（\overline{A}BC）+P（A\overline{B}C）+P（AB\overline{C}）$=0.1×0.8×0.9+0.90.2×0.9+0.9×0.8×0.1=0.306
P（ξ=3）=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.9×0.8×0.9=0.648
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	0.002	0.044	0.306	0.648

数学期望Eξ=0×0.002+1×0.044+2×0.306+4×0.648=2.6

点评 本题主要考查独立事件求概率和随机变量的分布列期望值，属于中档题型，在高考中经常考到，应引起重视．